已知函数f=x2+ax+3，g=•2x-1若f=f，求实数a的值；在的条件下，判断函数F=21+g(x

题文

已知函数f（x）=x²+ax+3，g（x）=（6+a）•2^x-1
（Ⅰ）若f（1）=f（3），求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，判断函数F（x）=21+g(x)的单调性，并给出证明；
（Ⅲ）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立，求实数a的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为函数f（x）=x²+ax+3，f（1）=f（3），
即1+a+3=9+3a+3，所以a=-4；
（Ⅱ）因为g（x）=2•2^x-1=2^x，
所以F（X）=21+2x在R上是减函数．
理由如下：设x1＜x2，
F（x₁）-F（x₂）=21+2x1-21+2x2=2•2x2-2x1(1+2x1)(1+2x2)，
因为x1＜x2，所以2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，
所以F（x₁）-F（x₂）＞0即F（x₁）＞F（x₂），
故F（X）=21+2x在R上是减函数．
（Ⅲ）x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立
等价于x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，
令h（x）=x²+ax+3-a，x²+ax+3-a≥0恒成立⇔h（x）_min≥0，
因为h（x）图象关于x=-a2对称，
又因为a∉（-4，4），所以-a2∉(-2，2)，
①当-a2≤-2即a≥4时，[-2，2]是增区间，故h（x）_min=h（-2）=7-3a≥0⇒a≤73，
又因为a≥4，所以a∈Φ；
②当-a2≥2即a≤-4时，[-2，2]是减区间，故h（x）_min=h（2）=a+7≥0⇒a≥-7，
又因为a≤-4，所以-7≤a≤-4．
综上a的取值范围是-7≤a≤-4．
故实数a的最小值是-7．

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解析

21+2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax+3，g（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|