已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［

题文

已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,

］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2

.

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解析

∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数。于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos²θ－mcosθ+2m－2>0。
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
g(t)=t²－mt+2m－2=(t－

)²－

+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正。
∴当

<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0

m>1与m<0不符；
当0≤

≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－

+2m－2>0


4－2

<m<4+2

,∴4－2

<m≤2.
当

>1,即m>2时，g(1)=m－1>0

m>1

 ∴m>2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2

.
另法(仅限当m能够解出的情况)

 cos²θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,

］恒成立，
等价于m>(2－cos²θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0,

］恒成立
∵当θ∈［0,

］时，(2－cos²θ)/(2－cosθ) ≤4－2

，
∴m>4－2

.

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|