题文
已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=
x,求使f(x)=-
在［0，2 009］上的所有x的个数. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明见解析（2）在［0，2 009］上共有502个x使f(x)="-"点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
（1）证明 ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， 2分
∴f（x）是以4为周期的周期函数， 4分
（2）解 当0≤x≤1时，f(x)=
x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=
（-x）=-
x.
∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-
x，即f(x)=
x. 7分
故f(x)=
x(-1≤x≤1) 8分
又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)=
(x-2), 10分
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=
（x-2），
∴f（x）=-
（x-2）（1＜x＜3）. 11分
∴f（x）=
12分
由f(x)="-"
,解得x=-1.
∵f（x）是以4为周期的周期函数.
∴f(x)="-"
的所有x="4n-1" (n∈Z). 14分
令0≤4n-1≤2 009,则
≤n≤
,
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)="-"
. 16分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
