题文
（本题满分12分）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．
（1）求
在
上的解析式；
(2) 证明
在
上是减函数；
（3）当
取何值时，
在
上有解． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：设
则
…… 1 分
∴
…… 2 分
∵
为奇函数 ∴
∴
…… 3 分
又
∴
…… 4 分
综上：
…… 5 分
（2）（解法一）证明：设
则
-
=
…… 7 分
∵
∴
，
∴
又
∴
，
∴
在
上是减函数. ……
9 分
（解法二）证明：∵
……7 分
∵
∴
即
又
∴
∴
在
上是减函数. …… 9 分
(3)
是定义在
上的奇函数，且由（2）知，
在
上单调递减
∴
在
上单调递减，
∴当
时，有
即
…… 11 分
∴要使方程
在
上有解，只需
. 故
.… 12 分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知是定义在上的奇函数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
