题文
（本题满分15分）已知
为
上的奇函数，当
时，
为二次函数，且满足
，不等式组
的解集是
.
（1）求函数
的解析式
（2）作出
的图象并根据图象讨论关于
的方程：
根的个数
题型：未知 难度：其他题型
答案
或
，方程有
个根；
或
，方程有
个根；
或
，方程有
个根；
或
，方程有
个根；
，方程有
个根.
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解析
（1）由题意，当时，设
，
，
；
； ……………………..2分
当
时，
，
为
上的奇函数，
，
即：
； ……………………..5分
当
时，由
得：
. ….…………………..6分
所以
……………………..7分
（2）作图（如图所示） ……………………..10分
由
得：
，在上图中作
，根据交点讨论方程的根：
或
，方程有
个根； ……………………..11分
或
，方程有
个根； ……………………..12分
或
，方程有
个根； ……………………..13分
或
，方程有
个根； ….…………………..14分
，方程有
个根. ………………….…..15分
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分15分）已知为上的奇函数，当时.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
