题文
下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A．
B．
C．
D．
题型：未知 难度：其他题型
答案
A点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
专题：证明题．
分析：根据奇函数与增函数的定义对四个选项进行验证，A选项是多项式；B选项是一个对数函数；C选项是指数函数；D选项是一个反比例函数．根据各个函数的特征进行判断即可
解答：解：A选项正确，因为它是奇函数数，且其导数为y′=x2+1（x∈R），恒为正，故也是一个增函数；
B选项不符合题意，因为它不是奇函数；
C选项不符合题意，因为它是一个指数函数，不是奇函数；
D选项不符合题意，因为它在R上不具有单调性；
故选A．
点评：本题考查函数奇偶性的判断及单调性的判断，求解本题关键是掌握住题目所涉及的四个函数的性质，根据它们的性质结合增函数定义与奇函数的定义对其判断．熟练掌握定义，对解题很重要．
考点
据考高分专家说，试题“下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
