已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0，2]上是增函数，则下列结论：①若，则；②若且③若方程在[-8，8]内恰有四个不同的角，则，其中正确的有A．0个B．

题文

已知函数

是定义在R上的奇函数，且

，在[0，2]上

是增函数，则下列结论：①若

，则

；②若


且

③若方程

在[-8，8]内恰有四个不同的角

，则

，其中正确的有  （   ）A．0个B．1个C．2个D．3个 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函数是以8为周期的周期函数，
又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则0＜x₁＜4-x₁＜4，即0＜x₁＜2，-2＜x₁-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂），则f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正确
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则0＜x₁＜5-x₁＜4，即1＜x₁＜5/2，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正确；
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，故③正确；
故答案为①②③

考点

据考高分专家说，试题“已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|