设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时，222233．求的解析式；若在上为增函

题文

（本小题满分14分）设

是定义在[-1，1]上的偶函数，

的图象与

的图象关于直线

对称，且当x∈[ 2，3 ] 时，

 2²²²3³．
（1）求

的解析式；
（2）若

在

上为增函数，求

的取值范围；
（3）是否存在正整数

，使

的图象的最高点落在直线

上？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)="g(2-x)=" -2ax+4x³；当x∈

时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，
∴

………………………………………4分
（2）由题设知，

＞0对x∈

恒成立，即2a-12x²＞0对x∈

恒成立，于
是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈

的最大值．
令

=2a-12x²=0，得

．…10分      若

∈

，即0＜a≤6，则


，
故此时不存在符合题意的

；
若

＞1，即a＞6，则

在

上为增函数，于是

．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a = 8满足题设．………………14分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设是定义在[-1，1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|