题文
(本小题满分14分)已知集合
是满足下列性质的函数
的全体, 存在非零常数
, 对任意
, 有
成立.
(1) 函数
是否属于集合
？说明理由;
(2) 设
, 且
, 已知当
时,
, 求当
时,
的解析式.
（3）若函数
，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
. (2)当
时,
.
(3）{k|k= nπ, n∈Z}
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解析
(1)假设函数属于集合
, 则存在非零常数
, 对任意
, 有
成立,即:
成立.在不成立的情况下，易用反例说明.因而 令
, 则
, 与题矛盾. 故
.
(2)解决本题的关键是
，根据1
时,
求出f(x)的表达式.
(3)解本题应讨论当k=0和k≠0两种情况.
然后解决本题的突破口是对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=
，下面再对T=1和T=-1两种情况进行讨论.
解:(1) 假设函数
属于集合
, 则存在非零常数
, 对任意
, 有
成立,
即:
成立. 令
, 则
, 与题矛盾. 故
. …………5分
注：只要能判断
即可得1分.
(2)
, 且
, 则对任意
, 有
,
设
, 则
,
…………8分
当
时,
,
故当
时,
. …………10分
3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. …………11分
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)="T" f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=
， …………12分
①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mπ, m∈Z .
②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z . …………13分
综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z} …………14分
考点
据考高分专家说，试题“ (本小题满分14分)已知集合是满足下列.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
