已知函数对任意实数恒有且当x＞0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于的不等式

题文

已知函数

对任意实数

恒有

且当x＞0，



(1)判断

的奇偶性；
(2)求

在区间[－3,3]上的最大值；
(3)解关于

的不等式

题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

为奇函数(2) 6 (3)见解析

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解析

本试题主要考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的求解综合运用。
（1）运用赋值法思想得到函数的 奇偶性的判定。
（2）先证明函数的单调性，然后利用单调性证明不等式。
（3）对于参数a分情况讨论得到解集。
解（1）取

则

………………1′
取




对任意

恒成立 ∴

为奇函数. ………………3′
（2）任取

， 则




………………4′


 又

为奇函数 


∴

在（－∞，+∞）上是减函数.


对任意

，恒有

………………6′
而




∴

在[－3，3]上的最大值为6………………8′
（3）∵

为奇函数，∴整理原式得


进一步可得

 
而

在（－∞，+∞）上是减函数，

………………10′


 


当

时，

 
当

时，


当

时，

 

考点

据考高分专家说，试题“已知函数对任意实数恒有且当x＞0，(1).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|