设为奇函数，为常数．求的值；证明在区间内单调递增；若对于区间[3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立，求实数的取值范围．

题文

（10分）设

为奇函数，

为常数．
（1）求

的值；
（2）证明

在区间

内单调递增；
（3）若对于区间[3,4]上的每一个

的值，不等式

>

恒成立，求实数

的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）证明见解析（3）

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解析

（1）∵ f(-x)＝－f(x)，∴

．
∴

，即

，∴a＝－1．          ……3分
（2）由（1）可知f(x)＝



（x>1） 记u(x)＝1＋

，
由定义可证明u(x)在（1，＋∞）上为减函数， ∴ f(x)＝

在（1，＋∞）上为增函数．                                                                 ……6分
（3）设g(x)＝

－

．则g(x)在[3,4]上为增函数． ∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立，∴

－

．                                             ……10分
点评：考查函数的性质要先看函数的定义域，证明单调性要用定义，恒成立问题一般转化为最值问题解决.

考点

据考高分专家说，试题“（10分）设为奇函数，为常数．（1）求的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|