题文
（本小题满分14分）已知函数
，
，记
。
（Ⅰ）判断
的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）对任意
，都存在
，使得
，
.若
，求实数
的值；
（Ⅲ）若
对于一切
恒成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）奇函数(2)
(3)
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解析
解：（Ⅰ）函数
为奇函数………………………………………………2分
现证明如下：
∵函数
的定义域为
，关于原点对称。……………………………………3分
由
…………………5分
∴函数
为奇函数…………………………………………………6分
（Ⅱ）据题意知，当
时，
，
…………7分
∵
在区间
上单调递增，
∴
，即
………………………………………8分
又∵
∴函数
的对称轴为
∴函数
在区间
上单调递减
∴
，即
………………………………………9分
由
，
得
，∴
………………………………………………………………10分
（Ⅲ）当
时，
即
，
，
…………………………………………………12分
令
，
下面求函数
的最大值。
，
∴
……………………………………………………………………13分
故
的取值范围是
………………………………………………………14分
点评：解决该试题的关键是能熟练的运用指数函数和二次函数的性质得到最值，以及根据奇偶性的定义准确的证明，同时对于不等式的恒成立问题，能分离参数法来得到其取值范围。属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数，，记。（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
