题文
已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
，在
上所有零点之和为（ ）A．7B．8 C．9D．10 题型：未知 难度：其他题型
答案
B点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2|x-1|-1，即
，∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[
，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1，又∵当x＞2时，f（x）=
f(x-2)，∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[
]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[
]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[
]，当且仅当x=8时，f（x）=
，函数f（x）在（8，10]上的值域为[
]，当且仅当x=10时，f（x）=
，故f（x）＜
在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点，依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点，综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8，故选B
点评：此类问题综合了函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理
考点
据考高分专家说，试题“已知是定义在上的奇函数，当时，，则，在上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
