题文
已知定义在上的函数
满足:
是偶函数,且
时的解析式为
,则
时
的解析式为 ; 题型:未知 难度:其他题型
答案
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解析
根据函数奇偶性定义,得f(-x+2)=f(x+2).当x<2时,由于4-x>2,将4-x代入已知条件的解析式,可得f(4-x)=,x2-2x-4,而f(4-x)与f(x)相等,由此则不难得到x<2时f(x)的解析式解:∵f(x+2)是偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2),设x<2,则4-x>2,可得f(4-x)=(4-x)2-6(4-x)+4=x2-2x-4,,∵f(4-x)=f[2+(2-x)]=f[2-(2-x)]=f(x),∴当x<2时,f(x)=f(4-x)=x2-2x-4,,故答案为:f(x)=x2-2x-4
点评:本题给出定义在R上且图象关于x=2对称的函数,在已知x≥2时的解析式情况下求则x<2时f(x)的解析式.着重考查了函数的奇偶性和函数解析式求解的常用方法的知识,属于基础题
考点
据考高分专家说,试题“已知定义在上的函数满足:是偶函数,且时的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|