题文
设函数
是定义在区间
上的偶函数,且满足
（1）求函数
的周期；
（2）已知当
时，
.求使方程
在
上有两个不相等实根的
的取值集合M.
(3)记
,
表示使方程
在
上有两个不相等实根的
的取值集合,求集合
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）是以2为周期的函数；（2）
的取值集合为
=
；
（3）
。
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解析
（1）因为
所以，
是以2为周期的函数 3分
（2）当
时，
即
可化为:
且
,
平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆 5分
方程
在
上有两个不相等实根即为直线
与该半圆有两交点
记A(-1,1), B(1,1)，得直线OA、OB斜率分别为-1，1 6分
由图形可知直线
的斜率满足
且
时与该半圆有两交点
故所求
的取值集合为
=
8分
（3）函数f(x)的周期为2
, 9分
当
时，
，
的解析式为：
.
即
可化为:
且
12分
平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆
方程
在
上有两个不相等实根即为直线
与该半圆有两交点
记
，得直线
的斜率为
13分
由图形可知直线
的斜率满足
时与该半圆有两交点
故所求
的取值集合为
14分
点评：难题，本题将集合、函数的性质、直线与圆的位置关系综合在一起考查，增大了“阅读理解”的难度。解答过程中，注意数形结合加以研究，是正确解题的关键。
考点
据考高分专家说，试题“设函数是定义在区间上的偶函数,且满足（1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
