已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．(Ⅰ) 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1；(Ⅱ)设(Ⅰ

题文

已知函数f (x)＝x³＋

(1－a)x²－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)先利用导数求出单调区间，再分情况证明；
(Ⅱ)

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解析

(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．
又f (0)＝1，f (a)＝－

a³－

a²＋1＝

(1－a)(a＋2) ²－1．
当f (a)≥－1时，取p＝a．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1．             7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值为f (a)．
当0＜a≤1时，f (a)≥－1，则g(a)是方程f (p)＝1满足p＞a的实根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0满足p＞a的实根，所以
g(a)＝

．
又g(a)在(0，1]上单调递增，故g(a)_max＝g(1)＝

．
当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝

(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为

．                                               15分
点评：研究函数的性质往往离不开导数，导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用；另外，函数如果含参数，一般离不开分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|