题文
已知函数
.
（I）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
,对
都有
成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（
且
）. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当
时，
单调递增区间为（0，+∞）.当m>0时，
单调递增区间为（0，
），单调递减区间为（
，+∞）. （Ⅱ）实数
的取值范围为
.（Ⅲ）详见解析.
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解析
（I）应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数，令导数大（小）于0，解不等式，求单调区间”.
（Ⅱ）将问题转化成“对
都有
”，
通过求
，得到函数
在[2,2
]上是增函数，
求得
=g(2)=2-
,利用2-
，及
得到实数
的取值范围为
.
（Ⅲ）通过构造函数
，利用（I）确定
的单调性得到
，（当
时取“=”号），利用“错位相减法”求得S=
证得
（
）.
试题解析：（I）
1分
当
时
，
在（0，+∞）单调递增. 2分
当m>0时，由
得
由
得
由
得
>
4分
综上所述：当
时，
单调递增区间为（0，+∞）.
当m>0时，
单调递增区间为（0，
），单调递减区间为（
，+∞）. 5分
（Ⅱ）若m=
,
,对
都有
成立等价于对
都有
6分
由（I）知在[2,2
]上
的最大值
=
7分
函数
在[2,2
]上是增函数，
=g(2)=2-
, 9分
由2-
，得
，又因为
，∴
∈
所以实数
的取值范围为
. 10分
（Ⅲ）证明：
令m=
，则
由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
，（当x=1时取“=”号）
11分
<
12分
令S=
①
2S=
②
①-②得-S=
S=
（
） 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
