题文
已知
可以表示为一个奇函数
与一个偶函数
之和，若不等式
对于
恒成立，则实数
的取值范围是____________. 题型：未知 难度：其他题型
答案
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解析
依题意，g(x)+h(x)=
.....（1），∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)；
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="
......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=
，g(x)=
∴ag(x)+h(2x)=a
+
，∴a·
+
≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=
，∴
=
，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，
∴原不等式化为a(t－
)+(t2+
)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－
)+(t2+
)≥0，
可得a(t－
)≥－(t2+
)，∵当t∈[2,4]时，t－
t>0恒成立，∴a≥
=
=
，即a≥
在t∈[2,4]上恒成立，
令u=t－
,求导得
=1+
>0恒成立，∴u=t-
在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[
]，令f(u)=u+
，u∈[
]，
求导得
(u)=1-
>0在u∈[
]上恒成立，∴f(u)在u∈[
]上单调递增
即当u=
，f(u)取最小值f(
)=
，
当u=
时，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）
∴当t=2时，
取最小值为
，即
取最大值为－
，∴a≥－
，当t=2，x=1时取等号，∴a的最小值为－
．
考点
据考高分专家说，试题“已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
