题文
已知函数
，是否存在实数a、b、c，使
同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在
上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
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解析
先利用函数
是定义域为
的奇函数，利用
以及定义
求出
的值以及确定
与
的关系，然后利用复合函数的单调性将问题转化为内层函数
在
上是增函数进行处理，结合导数来解决，由此确定
的正负，最后在根据上一步的结论并根据函数
的最大值为
求出
与
的值，从而使问题得到解答.
试题解析：
是奇函数
3分
又
，即
，
∴
．
∴
或
，但
时，
，不合题意；故
． …6分
这时
在
上是增函数，且最大值是1．
设
在
上是增函数，且最大值是3．
，
当
时
，故
； 8分
又当
时，
；当
时，
；
故
，又当
时，
，当
时，
．
所以
在
是增函数，在（－1，1）上是减函数． 10分
又
时，
时
最大值为3． 11分
∴
经验证：
时，
符合题设条件，
所以存在满足条件的a、b、c，即
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，是否存在实数a、b、c，使同时.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
