下列命题是真命题的序号为：①定义域为R的函数，对都有，则为偶函数②定义在R上的函数，若对，都有，则函数的图像关于中心对称③函数的定义域为R，若与都是奇函数，则是

题文

下列命题是真命题的序号为：             
①定义域为R的函数

，对

都有

，则

为偶函数
②定义在R上的函数

，若对

，都有

，则函数

的图像关于

中心对称
③函数

的定义域为R，若

与

都是奇函数，则

是奇函数
③函数

的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。
⑤若函数

有两不同极值点

，若

，且

，则关于

的方程

的不同实根个数必有三个. 题型：未知 难度：其他题型

答案

③④⑤

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解析

：①若f（x-1）为偶函数，则f（-x-1）=f（x-1），所以①错误．
②因为

为常数，

为常数，所以y=f（x）的图象关于（-2，1）中心对称，所以②错误．③若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4，所以f（x+1949）=f（x+1）为奇函数，所以③正确．④由f（x）=ax³+bx²+cx+d得f（x）-d=ax³+bx²+cx为奇函数，此时函数关于原点对称，所以函数f（x）=ax³+bx²+cx+d关于（0，d）对称，而（0，d）一定在函数f（x）图象上，所以④正确．⑤导数f′（x）=3ax²+2bx+c，由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有两个根，
f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意图象：如图有三个交点，故有3个不同实根．所以⑤正确．故答案为：③④⑤

考点

据考高分专家说，试题“下列命题是真命题的序号为：①定义域为R的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|