题文
已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；
(2)探究函数f(x)＝ax＋
(a、b是正常数)在区间
和
上的单调性（只需写出结论，不要求证明）.并利用所得结论，求使方程f(x)－log4m＝0有解的m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
;
(2)函数f(x)＝ax＋
(a、b是正常数)在区间
上为减函数，在区间
上为增函数;
.
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解析
(1)由已知函数
的定义域为
关于原点对称,又是偶函数,则可根据偶函数的定义
(或者利用特殊值代入计算亦可,如
),得到一个关于
的方程,从而求出
的值;(2)由函数
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,结合是可知函数
在区间
上为单调递减函数,在区间
上为单调递增函数.由题意知方程
,即为方程
,若使方程有解,则对数式
的值要在函数
的值域范围内,所以首先要求出函数
的值域,对函数
进行化归得
,故原方程可化为
,令
,
,则
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,故函数
的最小值为
,即当
,
时函数
的值,所以函数
的值域为
,从而可求出
.
试题解析：(1)由函数f(x)是偶函数，可知
．
∴
.
即
， 2分
， 4分
∴
对一切
恒成立．∴
. 5分
（注：利用
解出
，亦可得满分)
(2)结论：函数
(a、b是正常数)在区间
上为减函数，
在区间
上为增函数. 6分
由题意知，可先求
的值域，
． 8分
设
，又设
，则
，由定理，知
在
单调递减，在
单调递增，所以
， 11分
∵
为增函数，由题意，只须
，即
故要使方程
有解，
的取值范围为
. 13分
;4.复合函数值域.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
