题文
已知
，其中
是常数．
（1））当
时，
是奇函数；
（2）当
时，
的图像上不存在两点
、
，使得直线
平行于
轴． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明见解析．点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用
来解决，当然如果你代数式变形的能力较强，可以直接求
然后化简变形为
，从而获得证明；(2)要证明函数
的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于
轴，即方程
不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，
，
，因此原方程最多只有一解，或者用反证法证明，设存在，即有两个
，且
，使
，然后推理得到矛盾的结论，从而完成证明．
试题解析：（1）由题意，函数定义域
， 1分
对定义域任意
，有：
4分
所以
，即
是奇函数. 6分
（2）假设存在不同的
两点，使得
平行
轴，则
9分
化简得：
，即
，与
不同矛盾。 13分
的图像上不存在两点，使得所连的直线与
轴平行 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知，其中是常数．（1））当时， 是奇函.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
