题文
已知函数
为奇函数.
（1）若
，求函数
的解析式；
（2）当
时，不等式
在
上恒成立，求实数
的最小值；
（3）当
时，求证：函数
在
上至多有一个零点. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
（3）见解析
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解析
（1）由函数
为奇函数,得
恒成立,可求
的值；
由
，从而可得函数
的解析式；
（2）当
时，
可判断其在区间
上为单调函数，最大值为
，要使不等式
在
上恒成立，只要
不小于函数在区间区间
上的最大值即可；
（3）当
时，
，要证
在
上至多有一个零点，
只要证
在
上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.
试题解析：解:（1）∵函数
为奇函数，
∴
，即
，
∴
， 2分
又
，
∴
∴函数
的解析式为
. 4分
（2）
，
.
∵函数
在
均单调递增，
∴函数
在
单调递增， 6分
∴当
时，
． 7分
∵不等式
在
上恒成立，
∴
，
∴实数
的最小值为
． 9分
（3）证明：
，
设
，
11分
∵
，
∴
∵
，即
，
∴
，又
，
∴
，即
∴函数
在
单调递减， 13分
又
，结合函数图像知函数
在
上至多有一个零点. 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数为奇函数.（1）若，求函数的解析.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
