已知函数f(x)=x，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。求λ的最大值； 若g(x)＜t2+λt+1在x∈[-1，

题文

已知函数f(x)=x，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。
（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g(x)＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程

=x²-2ex+m的根的个数。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g′（x）=λ+cosx≤0，∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，故λ的最大值为-1。
（Ⅱ）由题意，得


∴只需


∴

（其中λ≤-1）恒成立，
令

，
则

，
∴

，而

恒成立，
∴t＜-1。
（Ⅲ）由

，
令




，
当

时，

，∴

在

上为增函数；
当

时，

，∴

在

上为减函数；
当x=e时，

，而


∴当

，即

时，方程无解；
当

，即

时，方程有一个根；
当

，即

时，方程有两个根。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x，函数g(x).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点