设函数f(x)=e-x，其中x∈R，a是实常数，e是自然对数的底数．(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小值为0；(Ⅱ)证明：当且仅当

题文

设函数f(x)=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，a是实常数，e是自然对数的底数．
(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小值为0；
(Ⅱ)证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3；
(Ⅲ)讨论关于x的方程f(x)+f′(x)=2xe^-x+x^-2(x≠0)的实数根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)



，
令f′(x)=0，解得：x=0或x=2-a，
①当a=2时，f′(x)≤0，此时无极值；
②当0＜2-a，即a＜2时，f′(x)和f(x)的变化如下表1，



此时应有f(0)=0，所以，a=0＜2；
③当0＞2-a，即a＞2时，f′(x)和f(x)的变化如下表2，



此时应有f(2-a)=0，即

，
所以必有

；
综上所述，当a=0或a=4时，f(x)的极小值为0。
(Ⅱ)若a＜2，则由表1知，应有f(2-a)=3，
即

，
∴

，
设

，则

，
由a＜2，故g′(x)＞0，
于是当a＜2时，g(a)＜g(2)=2＜3，即

不可能成立；
若a＞2，则由表2知，应有f(0)=3，即a=3；
综上所述，当且仅当a=3时极大值为3。
(Ⅲ) ∵

，
∴方程

可以化为

，
进而化为

，
构造函数

，
求导可得，

，
由ψ′(x)＞0得x＜0或x＞2，由ψ′(x)＜0得0＜x＜2，
从而ψ(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，
当x=2时，函数ψ(x)取得极小值

。
并且结合函数图象可知：当|x|无限趋近于0时，ψ(x)＞0并且取值无限增大，其图象向上无限接近y轴，但永远也达不到y轴（此时y轴足渐近线）；
当x＜0并无限减小时，ψ(x)＞0并且取值也无限减小，其图象在 x轴上方并向左无限接近x轴，但永远也达不到x轴（此时x轴是渐近线）；
当x＞2并无限增大时，ψ(x)＞0并且取值也无增大，其图象在第一象限内向右上方无限延伸（如图所示）
 


因此，当a≤0时，原方程无实根；
当0＜a＜

时，原方程只有一个实数根；
当a=

时，原方程有两个不等的实数根；
当a＞

时，原方程有三个不等的实数根。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=（x2+ax.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点