已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

题文

已知a是实数，函数f(x)=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：若a=0，则函数f(x)=2x-3在区间[-1，1]上没有零点；
下面就a≠0时分三种情况讨论：
(1)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根，此时Δ=

解得

，
当

时，f(x)=0的重根

；
当

时，f(x)=0的重根

，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根时，

；
(2)f(x)在区间[-1，1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根，
此时有f(-1)f(1)≤0，
∵f(-1)=a-5，f(1)=a-1，
∴(a-5)(a-1)≤0，即1≤a≤5，
∵当a=5时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根，
∴当方程f(x)=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a＜5；
(3)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两相异实根，
因为函数

，其图象的对称轴方程为

，
a应满足：
①

或②

，
解不等式组①得a≥5，
解不等式组②得

，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根时，

，
注意到当1≤a＜5时，f(-1)f(1)≤0，
方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
当

时，
由于f

，且

，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
当a=

时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
综上所述，函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是(-∞，

)∪(1，+∞)。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知a是实数，函数f(x)=2ax.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点