设函数f(x)=x3+x2+(m2-1)x(x∈R)，其中m＞0， (Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； (Ⅱ)求函数

题文

设函数f(x)=

x³+x²+(m²-1)x(x∈R)，其中m＞0，
(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值；
(Ⅲ)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)当m=1时，

，
f′(x)=-x²+2x，故f′(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1。
(Ⅱ)f′（x）=x²+2x+m2-1，
令f′(x)=0，解得x=1-m或x=1+m，
因为m＞0，所以1+m＞1-m，
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：



 所以f(x)在（-∞，1-m），(1+m，+∞)内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)，且

，
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且

。
(Ⅲ)由题设，



，
所以方程

有两个相异的实根x₁，x₂，
故

，且

，
解得

（舍）或

，
因为x₁＜x₂，所以

，故

，
若

，则

，
而f(x₁)=0，不合题意，
若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则

，
又f(x₁)=0，所以 f(x)在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是

，
解得

；
综上，m的取值范围是

。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3+x2+(m2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点