设f=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，ff＞0，求证：方程f=0有实根；-2＜＜-1；设x1，x2

题文

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根；
（Ⅱ）-2＜

＜-1；
（Ⅲ）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则

≤|x₁-x₂|＜

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c²≤0，
与已知矛盾，所以a≠0，
方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，
得△=4（a²+c²-ac）

，
故方程f(x)=0有实根；
（Ⅱ）由f（0）f（1）＞0，得

，
由条件a+b+c=0，消去c，得

，
因为

，
所以

，
故

。
（Ⅲ）由条件，知

，
所以(x₁-x₂)²=(x₁-x₂)²-4x₁x₂

，
因为

，
所以

，
故

。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=3ax2+2bx.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点