已知函数f=sin2x﹣2sin2x．求函数f的最大值；求函数f的零点的集合．

题文

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=

sin2x﹣2sin²x=

sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+

）﹣1
故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2

sin xcos x=2sin²x，
于是sin x=0，或

cos x=sin x
即tan x=


由sin x=0可知x=kπ；
由tan x=

可知x=kπ+

．
f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k

，k∈Z}

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解析

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考点

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点