已知函数f=ax+x2﹣xlna．当a＞1时，求证：函数f在上单调递增；若函数y=|f﹣t|﹣

题文

已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（3）若存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）f′（x）=a^xlna+2x﹣lna=2x+（a^x﹣1）lna  
由于a＞1，
故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增  
（2）当a＞0，a≠1时，
因为f′（0）=0，且f′（x）在R上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：



又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，
所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t﹣1，
所以t﹣1=（f（x））_min=f（0）=1，
解得t=2；
（3）因为存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，
|（f（x））_max﹣（f（x））_min|
=（f（x））_max﹣（f（x））_min
≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（﹣1），f（1）}，
而

，
记

，
因为

（当t=1时取等号），
所以

在t∈（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；
当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）
①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1

a﹣lna≥e﹣1

a≥e，
②当0＜a＜1时，由

，
综上知，所求a的取值范围为

．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+x2﹣xl.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点