已知函数为偶函数．求k的值；若方程有且只有一个根，求实数a的取值范围．

题文

已知函数

为偶函数．
（I）求k的值；
（II）若方程

有且只有一个根，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I） 由题意得f（﹣x）=f（x），
即

，
化简得

，
从而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴


（II）由题意，原方程化为

且a·2^x﹣a＞0
即：令2x=t＞0


函数y=（1﹣a）t²+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）
如图所示：若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t²+at+1的开口向下都可，
且该正根都大于1，满足不等式（2），
当二次函数y=（1﹣a）t²+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即

也满足不等式（2）
综上：a＞1或

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数为偶函数．（I）求k的值；.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点