若x1、x2是函数f=ax3+bx2﹣a2x的两个极值点．若，求函数f的解析式；若，求b的最大值．

题文

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若

，求函数f（x）的解析式；
（2）若

，求b的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）
依题意有

和1是方程3ax²+2bx﹣a²=0的两根
∴

解得

，
∴f（x）=x³﹣x²﹣x．（经检验，适合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴x₁x₂=﹣

＜0且

，
∴

，
∴b²=3a²（9﹣a）
∵b²≥0
∴0＜a≤9．
设p（a）=3a²（9﹣a），则p'（a）=54a﹣9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，
∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“若x1、x2（x1≠x2）是函数f.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点