已知函数f=|x|·．判断f的奇偶性；设函数f在区间[0，2]上的最小值为m，求m的表达式；若a

题文

已知函数f（x）=|x|·（x﹣a）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；
（3）若a=4，证明：方程f（x）+

=0有两个不同的正数解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x）=|x|

（x﹣a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；
a≠0时，f（x）=|x|

（x﹣a）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²﹣ax=（x﹣

 ）2﹣

 ，
函数f（x）图象的对称轴为直线x=

 ．
当 

，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；
当0

 ，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，

 ]上是减函数，在[

 ，2]上是增函数，
所以m（a）=f（ 

）=﹣

 ；
当

 ，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
所以m（a）=f（2）=4﹣2a．
综上，m（a）=

 ．
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=

 ，
方程可化为

 ，即

 ．
令

 ，h（x）=﹣x²+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．
因为g（2）=2，h（2）=4，
所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+

 =0有两个不同的正数解．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x|·（x﹣a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点