题文
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间
内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在
内的零点，判断数列x2，x3，…，xn…的增减性。
答案
解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x-1，∴fn（
）fn（1）=（
-
）×1＜0，
∴fn（x）在区间
内存在零点
再由fn（x）在区间
内单调递增，可得fn（x）在区间
内存在唯一的零点。
（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
故函数f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4。
当
＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f2（-1）-f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾
当-1≤-
＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）-
=
≤4 恒成立
当0≤-
≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-
=
≤4 恒成立
综上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x-1在
内的唯一零点，
则有fn（xn）=
+xn-1=0，fn+1（xn+1）=
+xn+1-1=0
当xn+1∈
时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=
+xn+1-1＜
+xn+1-1=fn（xn+1）．由（1）知，fn（x）在区间
内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn
单调递增数列。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“设函数fn（x）=xn+bx+c.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
