设函数f=-13x3+x2+x．当方程f=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；当m=1时，求过点

题文

设函数f（x）=-13x³+x²+（m²-1）x（x∈R）．
（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；
（2）当m=1时，求过点（0，f（0））作曲线y=f（x）的切线的方程；
（3）若m＞0且当x∈[1-m，3]时，恒有f（x）≤0，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得，f（x）=-13x3+x2+(m2-1)x
=x[-13x2+x +(m2-1)]，
∵方程f（x）=0只有一个实数解，
∴-13x2+x +(m2-1)=0没有实数解，
∴△=1+43(m2-1)＜0，解得-12＜m＜12，
∴实数m的取值范围是(-12，12)．
（2）当m=1时，f(x)=-13x3+x2，则f′（x）=-x²+2x，
设切点为（x₀，y₀），y0=-13x03+x02，
∴切线方程设为y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
即y-(-13x03+x02)=(-x02+2x0)(x-x0)①，
将原点（0，0）代入得，0-(-13x03+x02)=(-x02+2x0)(0-x0)，
解得x₀=0或x0=32，代入①得，y=0或3x-4y=0，
则过（0，f（0））的切线的方程为：y=0或3x-4y=0，
（3）由题意得，f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1），
由f′（x）=0得，x=m+1或x=1-m，
∵m＞0，∴m+1＞1-m，
∴f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，在（1-m，1+m）内单调递增．
①当1+m≥3，即m≥2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
∴f(x)max=f(3)=3m2-3．
∴m≥23m2-3≤0，解得m无解，
②当1+m＜3时，即0＜m＜2时，
则f（x）在（1-m，1+m）内单调递增，在（1+m，+∞）内单调递减，
∴f(x)max=f(1+m)=23m3+m2-13，
∴0＜m＜223m3+m2-13≤0，即0＜m＜2(m+1)2(2m-1)≤0，
解得0＜m≤12，
综上得，m的取值范围为（0，12]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=-13x3+x2+（m2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点