已知函数f=13x3-ax2+b在x=2处有极值．求函数f的单调区间；若函数f在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

题文

已知函数f（x）=13x3-ax2+b在x=2处有极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上有且仅有一个零点，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=x²-2ax…（1分）
由题意知：f′（2）=4-4a=0，得a=1，…（3分）
∴f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，…（5分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，…（6分）
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），
单调递减区间是（0，2）．…（7分）
（2）由（1）知，f（x）=13x3+x2-b，
f （2）=b-43为函数f （x）极小值，f （0 ）=b为极大值．…（10分）
∵函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，
∴b-43＞0或b＜0    …（12分）
即  b＞43或b＜0    …（13分）

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解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=13x3-ax2+b在.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点