关于x的方程a2x+(1+1m)ax+1=0(a＞0，a≠1)有解，则m的取值范围是A．[-13，0)B．[-13，0)∪(0，1]C．(-∞，-13]

题文

关于x的方程a2x+(1+1m)ax+1=0 (a＞0，a≠1)有解，则m的取值范围是（ ）A．[-13，0)B．[-13，0)∪(0，1]C．(-∞，-13]D．[1，+∞） 题型：未知 难度：其他题型

答案

令t=a^x，则原方程化为：
t²+（1+1m）t+1=0，这是个关于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根据指数函数（或是幂函数）的定义，必有t=a^x＞0，
∴此关于t的一元二次方程必然要存在实根，且实根无论个数如何，都必须使正的
方程有实根的条件是：
△=（1+1m）²-4≥0
1+2m+（1m）²-4≥0
3-2m-（1m）²≤0
m作为分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式两侧同时乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-13≤m≤1   ①
方程具有正实根的条件是：
t₁+t₂=-（1+1m）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子显然成立，上面的不等式进一步化简有：
m+1m＜0
＜=＞-1＜m＜0   ②
取①，②的交集，就能得到m的取值范围是：
-13≤m＜0
故选A．

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解析

1m

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程a2x+(1+1m)ax+1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点