若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______．

题文

若关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根x≠0，
两边除以x²，得x²+1x2+a（x+1x）+a=0，（1）
设y=x+1x，则|y|=|x|+1|x|≥2，
（1）变为 y²-2+ay+a=0，有根
分离变量得a=2-y2y+1=1y+1+1-y，
在y≥2，或y≤-2时，a是减函数，
当y=2时，a=-23；当y=-2时，a=2．
∴a≤-23，或a≥2．
则实数a的取值范围为 (-∞，-23]∪[2，+∞)．
故答案为：(-∞，-23]∪[2，+∞)．

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解析

1x2

考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点