已知函数f=3ax2+2bx+b-a．当a=13时，若不等式f＞-13对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；（2

题文

已知函数f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．
（1）当a=13时，若不等式f（x）＞-13对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=13时，f（x）=x²+2bx+b-13，
问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为-12∈（-1，0），
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-b3a，
①若-b3a≤-12，即ba≥32时，f（-12）f（0）=（-14a）（b-a）=（-14a2）（ba-1）＜0，
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-b3a＞-12，即ba＜32时，f（-1）f（-12）=（2a-b）（-14a）=（-14a2）（2-ba）＜0
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3ax2+2bx+b-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点