已知函数f=ax3+bx2-2有且仅有两个不同的零点x1，x2，则A．当a＜0时，x1+x2＜0，x1x2＞0B．当a＜0时，x1+x2

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0 题型：未知 难度：其他题型

答案

原函数的导函数为f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=-2b3a，
故当x=0，或x=-2b3a时，函数取得极值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点，
则必有f（-2b3a）=a(-2b3a)3+b(-2b3a)2-2=0，解得b3=27a22，且b＞0，
即函数的一根为x₁=-2b3a，
（1）如下图，若a＞0，可知x₁=-2b3a＜0，且为函数的极大值点，x=x₂处为函数的极小值点，
此时函数有2个零点：-2b3a，x₂＞0，显然有x₁x₂＜0，但x₁+x₂的正负不确定，故可排除C，D；



（2）如图2，若a＜0，必有x₁=-2b3a＞0，此时必有x₁x₂＜0，x₁=-2b3a的对称点为x=2b3a，
则f（2b3a）=a(2b3a)3+b(2b3a)2-2=20b327a2-2=2027a2×27a22-2=8＞0，
则必有x₂＞2b3a，即x₂-2b3a＞0，即x₁+x₂＞0
故选B

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解析

2b3a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2-2（a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点