已知函数f(x)=(x+1)4+(x-1)4(x+1)4-(x-1)4．若f=x且x∈R，则称x为f的实不动点，求f的实不动点

题文

已知函数f(x)=(x+1)4+(x-1)4(x+1)4-(x-1)4（x≠0）．
（Ⅰ）若f（x）=x且x∈R，则称x为f（x）的实不动点，求f（x）的实不动点；
（Ⅱ）在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f(x)=x4+6x2+14x3+4x，且f（x）=x，
∴x4+6x2+14x3+4x=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1或x2=-13（舍去），
所以x=1或-1，即f（x）的实不动点为x=1或x=-1．
（Ⅱ）由条件得an+1=(an+1)4+(an-1)4(an+1)4-(an-1)4⇒an+1+1an+1-1=(an+1)4(an-1)4=(an+1an-1)4，
从而有lnan+1+1an+1-1=4lnan+1an-1，
∵lna1+1a1-1=ln3≠0，
∴数列{lnan+1an-1}是首项为ln3，公比为4的等比数列，
∴lnan+1an-1=4n-1ln3⇒an+1an-1=34n-1⇒an=34n-1+134n-1-1（n∈N^*）．

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解析

x4+6x2+14x3+4x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(x+1)4+(x-1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点