已知函数f=ex．如果f定义在区间[-2，t]上，那么①当t＞1时，求函数y=f的单调区间；②设m=f（-

题文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2，t]（t＞-2）上，那么
①当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
②设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，当x＞1时，试判断方程g（x）=x根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=x（x-1）e^x．
①当t＞1时，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上可知：当x∈（-2，0），（1，t）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减．
②设h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，h′（t）=t（t-1）e^t（t＞2），列表如下：



由表格可知h（t）的极小值为h（1）=e-13e2=e3-13e2＞0，而h（-2）＞0，
∴当t＞-2时，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
问题转化为：判定方程（x-1）²e^x=x当x＞1时，根的个数．
设u（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），则u′（x）=（x²-1）e^x-1，
设v（x）=（x²-1）e^x-1（x＞1），则v′（x）=（x²+2x-1）e^x，
当x＞1时，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上单调递增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x₀，使得v（x₀）=0，即存在唯一x₀∈（1，2）使得u′（x₀）=0，
列表如下：






可知：u（x）_min=u（x₀）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e²-2＞0，y=u（x）的图象如图所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一个零点，即g（x）=x（x＞1）只有一个零点．

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解析

13e2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点