已知f=x3+bx2+cx+2．若f在x=1时有极值-1，求b、c的值；若函数y=x2+x-5的图象与函数y=k-2x的图象恰有三个不同

题文

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；
（2）若函数y=x²+x-5的图象与函数y=k-2x的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2bx+c，
由题，f（x）在x=1时有极值-1，知f′（1）=0，f （1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（3分）
∴f（x）=x³+x²-5x+2，f'（x）=3x²+2x-5
此时f（x）在[-53，1]为减函数，f （x）在（1，+∞）为增函数
∴b=1，c=-5符合题意（5分）
（2）函数y=x²+x-5的图象与函数y=k-2x的图象恰有三个不同的交点，所以方程：x2+x-5=k-2x，即x³+x²-5x+2=k（x≠0），恰有三个不同的实解，
从而当x≠0时，f （x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，
由（1）知f （x）在[-∞，  -53]为增函数，f （x）在[-53， 1]为减函数，f （x）在（1，+∞）为增函数，
又f(-53)=22927，f （1）=-1，f （2）=2
∴-1＜k＜22927且k≠2（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x3+bx2+cx+2．（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点