已知定义在R上的偶函数f满足f=f，且x∈[0，1]时，f(x)=-78x，则方程f(x)=(12)|x|-1在区间[-3，3]上的根

题文

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且x∈[0，1]时，f(x)=-78x，则方程f(x)=(12)|x|-1在区间[-3，3]上的根的个数为（ ）A．5B．4C．3D．2 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（1+x）=f（1-x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，
方程f(x)=(12)|x|-1在区间[-3，3]根的个数等价于f（x）与y=(12)|x|-1图象的交点的个数，
而函数y=(12)|x|-1图象可看作y=(12)|x|的图象向下平移1个单位得到，
作出它们的图象如图：



可得两函数的图象有5个交点，
故选A

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点