已知函数f=ax3-32ax2，函数g=32．当a＞0时，求f和g的公共单调区间；当a＞2时，求函数h=f（

题文

已知函数f（x）=ax3-32ax2，函数g（x）=3（x-1）²．
（1）当a＞0时，求f（x）和g（x）的公共单调区间；
（2）当a＞2时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1），a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．而函数g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．所以两个函数的公共单调递增区间是（1，+∞），公共单调递减区间是（0，1）．
（2）h（x）=ax3-32ax2-3（x-1）²．
h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-2a）（x-1），
令h′（x）=0，得x=2a，或x=1，由于2a＜1，
易知x=1为h（x）的极小值点，
所以h（x）的极小值为h（1）=-a2，
（3）由（2）h（x）=ax3-32ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-2a）（x-1），
①若a=0，则h（x）=-3（x-1）²．h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
②若a＜0，则h（x）的极大值为h（1）=-a2，h（x）的极小值为h（2a）=-4a2+6a-3＜0，h（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解．
③若0＜a＜2，则h（x）的极大值为h（1）=-a2＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
④若a=2，则h′（x）=6（x-1）²≥0，h（x）单调递增，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
⑤若a＞2，则由（2）知，h（x）的极大值为h（2a）=-4(1a-34)2-34＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
综上所述，当a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三个解．

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解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3-32ax2，函.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点