a=(x2，2)，b=(x，1)若a∥b，求x；若函数f(x)=a•b对应的图象记为C求曲线C在A处的切线方程？若直线l为曲

题文

a=(x2，2)，b=(x，1)
（1）若a∥b，求x；
（2）若函数f(x)=a•b对应的图象记为C
（I）求曲线C在A（1，3）处的切线方程？
（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=(x2，2)，b=(x，1)，且a∥b
∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）f(x)=a•b=x²•x+1×2=x³+2
（I）对f（x）求导数，得f'（x）=3x²，
∴曲线C：y=f（x）在A（1，3）处切线的斜率k=f'（1）=3
结合直线的点斜式方程，得切线方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）设切点坐标P（t，t³+2），得在点P处切线的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲线C在点P处的切线方程为y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由y=3t2x-2t3+2y=x3+2得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因为切线与曲线C有且仅有一条一个公共点，所以只有t=0时以上方程有相等的实数根，此时l方程为y=2
∴存在直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，此时切线方程为y=2．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“a=(x2，2)，b=(x，1)（1）若.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点