已知a＞0，函数f=lnx-ax2，x＞0．的图象连续不断）求f的单调区间；当a=18时，证明：存在x0∈，使f(

题文

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=18时，证明：存在x₀∈（2，+∞），使f(x0)=f(32)；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明ln3-ln25≤a≤ln23． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f′(x)=1x-2ax=1-2ax2x，x∈(0，+∞)，
令f′(x)=0，解得x=2a2a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：



 所以，f（x）的单调递增区间是(0，2a2a)，f(x)的单调递减区间是(2a2a，+∞)．
（II）证明：当a=18时，f(x)=lnx-18x2．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
在（2，+∞）内单调递减．
令g(x)=f(x)-f(32)．
由于f（x）在（0，2）内单调递增，
故f(2)＞f(32)，即g(2)＞0．
取x′=32e＞2，则g(x′)=41-9e232＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈(2，+∞)，使f(x0)=f(32)．
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜2a2a＜β，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故f(2)≥f(α)≥f(1)f(2)≥f(β)≥f(3).即ln2-4a≥-aln2-4a≥ln3-9a.
从而ln3-ln25≤a≤ln23．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点