已知函数f=ax2+4x+1在区间有零点，则实数a的取值范围为______．

题文

已知函数f（x）=ax²+4x+1在区间（-∞，1）有零点，则实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当a=0时，函数f（x）=4x+1，在区间（-∞，1）有零点x=-14，满足条件．
当a≠0时，当f（x）在（-∞，1）上有一个零点时，此时，△=16-4a=02-a＜1，或 a＞0f(1)≤0，或 a＜0f(1)≥0．
解得a=4 或-5≤a＜0．
当f（x）在（-∞，1）上有2个零点时，此时，a＞0△=16-4a＞02-a＜1f(1)＞0，或 a＜0△=16-4a＞02-a＜1f(1)＜0，
解得 0＜a＜4，或  a＜-5．
综上可得，实数a的取值范围为 （-∞，4]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+4x+1在区间.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点