已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．当m=2时，求曲线y=f在点）处的切线方程；当m=1时，证明方程f=g（

题文

已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）m=2时，f(x)=2x-2x，f′(x)=2+2x2，f′(1)=4，
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4…（2分）
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-1x-2lnx，
h′(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
又h(e)•h(1e)=-(1e-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点
∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根     …（6分）
（或说明h（1）=0也可以）
（3）mx-mx-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜2x+2xlnxx2-1恒成立，
令G(x)=2x+2xlnxx2-1，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=-2(x2lnx+lnx+2)(x2-1)2，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=4ee2-1，
则m的取值范围是(-∞，4ee2-1)．            …（12分）

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点