已知函数f=ln-32x2求f在[0，1]上的极值；若关于x的方程f=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求

题文

已知函数f（x）=ln（2+3x）-32x²
（I）求f（x）在[0，1]上的极值；
（II）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f′(x)=32+3x-3x=-3(x+1)(3x-1)3x+2，
令f'（x）=0得x=13或x=-1（舍去）∴当0≤x≤13时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当13＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．∴f(13) =ln3-16为函数f（x）在[0，1]上的极大值
（II）由f（x）=-2x+b⇒ln（2+3x）-32x2+2x-b=0
令φ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b，则，φ′(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x，
当x∈[0，73]时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，73]上递增；
当x∈[73，1]时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[73，1]上递减，而φ(73)＞φ(0)，φ(73)＞φ(1)，
∴f（x）=-2x+b，即φ（x）=0在[0，1]恰有两个不同实根等价于
φ(0)=ln2-b≤0φ(73)=ln(2+7)-76+273-b＞0φ(1)=ln5+12-b≤0
∴ln5+12≤b小于ln（2+7）-76+273．

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解析

32+3x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（2+3x）-32.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点